PhiloDream

Значительная роль доказательств и в процессе построения научной теории. Устанавливаемая с их помощью связь между различными утверждениями данной науки позволяет выявить ее логическую структуру. Большое значение технике доказательств придавалось уже в древности.

Примером может служить теория силлогизмов Аристотеля и геометрия Эвклида. Они оказали сильное влияние на развитие научной теории на протяжении многих веков. Например, метод доказательства, применяемый в Эвклидовой геометрии вплоть до середины XIX в. считался образцом дедукции и логической строгости. Его широко использовали в математических науках и даже пытались распространить на другие науки.

Несмотря на относительно высокие логические достоинства этого метода, он обладал в то же время рядом недостатков. Положение считалось доказанным, если доказуемое утверждение обосновывалось с помощью ряда положений, обладающих наибольшей очевидностью. Критерий очевидности, при этом, применялся широко: он распространялся как на утверждения, так и на саму процедуру доказательства, строение которого было недостаточно проанализировано логически. Критерий очевидности ставил доказательство в зависимость от субъективных способностей человека: то, что одному казалось очевидным, другому представлялось весьма сложным и требующим специального доказательства. Тот же постулат о двух параллельных прямых, который в древности считался очевидным, позже многие видные математики подвергали его сомнению и требовали особого доказательства. Очевидность, или интуитивная ясность, привносила с собой в доказательство недостаточную логическую строгость. Нередко случалось, что очевидные (интуитивные) посылки при более глубоком анализе оказывались несовместимыми с ходом доказательства и могли приводить к затруднениям. История математики знает немало примеров, когда несовершенство доказательных процедур приводило к ошибочным результатам.

С конца XIX в. в логике формируется понятие формального доказательства, которое заменяет собой старое. Оно характеризуется сведением до минимума ссылок на интуитивную очевидность при осуществлении доказательства и возрастанием роли логических критериев. При доказательстве используются только те утверждения, которые необходимы для его проведения, остальные устраняются. С помощью логических средств исключается возможность присутствия невыявленных посылок. Формальное доказательство широко используется в аксиоматических теориях, то есть таких, в которых из небольшого числа начальных истинных утверждений (аксиом) выводятся все остальные истинные утверждения этой теории. Суть такого вывода на основе формального доказательства состоит в следующем: сначала применяют правила вывода к аксиомам и получают из них новые утверждения, непосредственно выводимые из аксиом. Затем те же правила применяют к новым утверждениям или совместно к новым утверждениям и аксиомам и получают другие утверждения и т.д. Если после конечного числа применений правил вывода (их называют шагами доказательства) приходят к данному утверждению, то говорят, что оно формально доказано. Формальным такое доказательство называется потому, что на время оно отвлекается от конкретного значения участвующих в доказательстве положений, то есть от того, что в них утверждается. Это дает возможность широко применять специальные символы – искусственный язык, – которыми заменяют отдельные положения доказательства. Оно становится проще, четче проявляется его логическая структура, оно легче поддается контролю.